Leninský odraz v matematice?
Ve sobotní příloze MF Dnes Věda a počítače vyšel v pátek 22. září sloupek o matematickém myšlení, jehož autor je ředitel Ústavu pro informace ČSAV (Milan Mareš: O lešení a myšlení). Na první pohled roztomilý sloupek se snaží čtenáři vysvětlit, že matematické myšlení je vlastně jako každé jiné, "jen se snaží dívat z trochu jiného úhlu a vyprávět o něm trochu jiným jazykem". Podle představy autora "matematické myšlení vzniklo někdy v pravěku, když se skupina lovců vydala na lov, třeba sobů. Vyšli tehdy na nevelký vršek, uviděli dvě stáda a upadli do rozpaků, ke kterému se vydat. Tehdy se, v jinak rozpačitém hloučku, ozvali dva podivíni. Jeden řekl: ´Tamti jsou blíž.´ Ten druhý odporoval: ´Ale tamtěch je víc.´ A tak vznikla matematika."
Že matematické myšlení je věc pozorování, k němuž "stačí vnímat věci bez zatvrdlých klišé a umět viděnou skutečnost trochu zobecnit" pak pan Mareš ukazuje na názorném příkladu karteziánských souřadnic a systému analytické geometrie René Descarta (pan Mareš ho píše inovativně Des Cartes). "Traduje se o něm, že kdysi ze svého okna pozoroval zedníky na lešení. Jeho schopnost uvědomovat si souvislosti se projevila, když si všiml, že k tomu, aby popsal polohu každého zedníka, nepotřebuje složité obrázky nebo jiné podrobnosti, že mu úplně stačí, když uvede dvě čísla - patro, a oddíl lešení. Schopnost zobecňovat první jednoduchou myšlenku už pak z jednoduchého postřehu udělala souřadnice a celý systém byl hotov."
Ponechme stranou, že čísla na určení poloh zedníků na lešení jinde než na plošné ilustraci musejí být tři a ne dvě, jde konec konců o rozverné povídání ve kterém je malicherné hledat mouchy. Oč skutečně jde, jsou daleko víc než mouchy.
Opravdu se to o Descartesovi a těch zednících traduje? Kdeže a kým? Jak tomu skutečně bylo s objevením systému analytické geometrie se totiž ví velmi přesně. Dokonce na den kdy k němu došlo, a kde. Bylo to v předvečer svátku svatého Martina, 10. listopadu 1619, v městě Ulm v Bavorsku za války třicetileté (Descartes byl totiž důstojníkem na katolické straně - to má pan Mareš správně). Toho desátého listopadu, jak to později vyprávěl svému životopisci Bailletovi, Descartes uviděl nesmírně jasné světlo, upadl do mystického vytržení, a měl tři po sobě jdoucí neobyčejně živé a podivné sny, o nichž pak řekl, že změnily jeho celý život. V prostředním z těch snů se mu zjevil systém analytické geometrie, a ve třetím mu byl dán magický klíč, kterým lze odemknout všechna tajemství přírody a jímž lze sjednotit všechny vědy.
Ale ponechme stranou mystické okolnosti toho objevu, i když jsou zajímavé. Stavy vytržení i sny se nakonec dají, byť s velmi hypotetickými předpoklady, vysvětlit z předchozích zážitků. Jádro mého sporu s výkladem pana Mareše je jinde. Descartův objev té noci byl objevem neskonale větším než je pouhý prakticky užitečný objev skutečnosti, že polohu bodu v prostoru lze jednoznačně popsat souřadnicemi, jimž se dostalo jména kartesiánské. To je totiž jen ta nejprimitivnější aplikace poznání, které oné noci Descartes nabyl.
Podstatou toho poznání bylo něco neskonale velkolepějšího. Šlo totiž o fundamentální předěl nejen v historii matematiky, ale vůbec v historii západního myšlení: o poznání, že geometrické vztahy, zákonitosti a objekty lze vyčerpávajícím způsobem popsat prostřednictvím matematické discipliny, konkrétně algebry, kterou nikdo do té doby s geometrií nespojoval, a že tato disciplina ji může zcela nahradit. A že prostřednictvím matematiky lze zřejmě stejně objevným a vyčerpávajícím způsobem vyjádřit i další pravdy o našem vesmíru. To je ten magický klíč z Descartova snu. Jak všichni víme, fantastická exploze vědeckého poznání 17.století s Newtonem v čele se začíná ihned poté - Descartes, Kepler, Galileo a Newton byli de facto současníci - a pokračuje až dodnes.
Z filosofického hlediska, přesněji řečeno teorie poznání, vzniká ale s matematikou jako klíčem k vědění nemalý problém. Jakým poznáním je sama matematika? Matematické zákonitosti a pravdy totiž nepotřebují žádný odkaz na smyslové vnímání, kriteria matematické pravdy nevyžadují experimentální ověření. Jistě, vznik některých matematických subjektů byl nepochybně inspirován reálným světem, ale žádná z těch inspirací není nezbytná k jakékoli matematické definici, všechny matematické subjekty a vztahy matematika nejen může, ale i musí definovat zcela abstraktně, výlučně intelektuálním procesem a nezávisle na smyslových vjemech. Jinými slovy, svět matematiky smyslové vnímání k ničemu nepotřebuje.
To ovšem působí značný problém materialistickým fundamentalistům pro které žádné poznání, které by bylo nezávislé na smysly vnímané realitě, nemůže existovat. A tak tedy vyvíjejí snahu matematiku s tou "objektivní" realitou co nejtěsněji svázat, a popřít její intelektuální svébytnost. To této kategorie patří, přes svou infantilitu, i povídání o tom, že matematika vznikla srovnáváním velikostí stád sobů. Počty, možná. Ale matematika?
Laskavý čtenář si povšimne, že mluvím o materialistických fundamentalistech, a ne o materialistech všeobecně. Je docela dobře možné zastávat světový názor, že podstata všeho, co existuje, není spirituální, a nemít přitom problém se schopností lidského intelektu vytvářet svébytné soustavy vědění, jejíž struktura je čistě věcí axiomatické volby, jako je soustava vědění matematického. Takovým materialismem je na příklad koncepce zvaná v anglosaském světě naturalismus, jehož předním představitelem byl filosof přírodních věd a matematiky Ernest Nagel. Materialističtí fundamentalisté s tím ale mají nepřekonatelný problém, protože žádný fundamentalismus nemůže připustit existenci svébytné, autonomní intelektuální činnosti nezávislé na čemkoli jiném než vlastní logice.
Samozřejmě, neobviňuji pana Mareše že je materialistický fundamentalista a že chce potlačovat intelektuální činnost jakéhokoli druhu. Myslím si, že byl veden snahou, jistě sympatickou, demythizovat matematiku, ukázat ji jako ničemu lidskému se nevymykající disciplinu. Jenže zřejmě ještě pod dojmem výkladů z dob jiných k tomu přistoupil způsobem, který v dokonalém souladu s marxistickými dogmaty ve svých důsledcích k nepoznání deformuje podstatu matematického poznání a jeho roli v západní civilizaci.
Když jsem se po dvaceti letech vrátil ze Spojených států, děti některých mých přátel buď propadaly z matematiky nebo byly na propadnutí, a rodiče se obraceli se na mě, abych situaci zachránil. Snad vůbec nejhorší problém byl s analytickou geometrií. Stačilo ale otevřít učebnice, z kterých se ty děti učily, a bylo jasné proč. Jak se během těch let za totality začala analytická geometrie učit a jak se bohužel učí dodnes - je děsivé.
Když jsem odjížděl, měli jsme jedny z nejavantgardnějších a nejlepších středoškolských učebnic na světě. Prezentace analytické geometrie, zaměřující se na její faktické rozpuštění v algebře a včlenění do širokých matematických souvislostí byla metodická a křišťálově jasná. Po dvaceti letech jsem místo toho našel výklad, který prezentuje analytickou geometrii ve vektorové aplikaci, jako specializovanou inženýrskou disciplinu, prakticky bez jakéhokoli vysvětlení vztahu mezi geometrickými pojmy a matematickými formulemi.
Není divu, že tomu ty děti nemohly rozumět. Je možné, že jsem paranoidní, ale nemohu se ubránit závěru, že taková prezentace analytické geometrie pro středoškoláky nebyla nijak náhodná.
Ty děti prostě nesmělo napadnout že lze dojít nějakého platného poznání abstraktní intelektuální úvahou, nezávisle na smysly vnímané realitě a možnosti technického využití. Zabránit tomu bylo třeba za každou cenu, i tu, že většině dětí ten výklad musel být nepochopitelný. A že nutně musely nabýt dojem, pro život zrovna ne příliš prospěšný, že s jejich inteligencí je něco špatně.
Snaha odmythizovat matematiku, vysvětlit že strach z ní je zbytečný a ukázat, že pochopit základní matematické pravdy je v moci každého normálně inteligentního člověka je, to se ví, na místě. Ale nedá se toho dosáhnout tím, že se matematika vydává za něco jiného než je - že se předstírá, že je jako celek odrazem smysly vnímané reality a že řídí toutéž logikou jako ona. Matematika je logická, smyslově vnímaný svět má také logiku. Ty dvě logiky rozhodně nejsou identické, a cesta k pochopení matematického myšlení musí vycházet právě z toho, že ty rozdíly identifikuje. Všimli jste si potíží, které mají středoškoláci s chápáním v podstatě tak jednoduchého matematického pojmu, jako je imaginární číslo? Pokud se budou držet názoru, že čísla označují množství, že jsou jakýmsi zobecněním čehosi vnímaného, pak tu potíž nikdy nepřekonají. Abyste jim vysvětlili že jsou to čísla jako všechna ostatní, s nimiž vstupují do vztahů, musí se jim vysvětlit nejenom, že i neoznačuje žádné množství, ale že v podstatě ani 1, 2, 3, 4, 5 a tak dále žádné množství neoznačují, ale že jsou to jakési šachové figurky ve hře s přesnými pravidly a že i když 1, 2, 3, 4 či pí se dají použít k označení množství či délky či úhlu, je to sice velmi užitečné, ale pro hru zvaná matematika zcela nepodstatné.
Zvláštní doba ve které žijeme, kdy je možné řešit matematické problémy a stavět matematické stroje a nemít základní ponětí o čem matematika vlastně je.
